جزوه ماشین آلات ساختمانی
نمادهای گرافیکی مورد استفاده برای –: برای هر گیت در شکل 5.1 نشان داده شدهاند. نمودارهای زمان بندی پاسخ ایده آل هر گیت ً 
-(* )
* () () () ؟
:
() * 〖()〗() * 〖()〗() 〖()〗() 〖()〗؟ ؟
* :
() /= () /= () + = * ^- + = = = ؟
* : () () ؟
:
() * 〖()〗() * 〖()〗() * 〖())〗() 〖()〗() 〖()〗: () () () () : ÷ * () () :
() () //؟
() () ؟
:
() () () () () () :
() () () () () () () () () () () () – () – () – () – () – () – () – () – * –: ++-(+).
() (+) + (+) () (+) + (-)
() (-) + (+) () (-) + (-)
++-(+) + (-)، (-) + (+) (-) + (-) 〖(+)〗() 〖(+)〗-〖()〗() :
() (+) + (+) () (+) + (-)
() (-) + (+) () (-) + (-)
:
() * () () () -() () () «» ()
* :
: () () : ؟
* ؟ ()؟
* ؟
* ؟
() ؟
() -؟
() –؟
() ؟
- ، ً ً ∈∉: = {}روی مجموعهای از عناصر S تعریف میشود، قاعدهای است که به هر جفت عنصر از S، یک عنصر منحصر به فرد از S اختصاص میدهد. به عنوان مثال، رابطه a *b = c را در نظر بگیرید. در صورتی که قاعده ای برای یافتن c از زوج (a,b) باشد و هم چنین اگر a,b,c ∈ S باشد می گوییم * یک عملگر دودویی است. با این حال، در صورتی که a,b ∈S و c∉ S باشد * یک عملگر دودویی نیست.
فرضیات یک سیستم ریاضی مفروضات اساسی را تشکیل می دهند که از آن ها می توان قواعد، قضایا و ویژگی های سیستم را استنتاج کرد. متداول ترین فرض های مورد استفاده برای فرمول بندی ساختارهای جبری مختلف به شرح زیر است:
بسته بودن. یک مجموعه S جزوه ماشین آلات ساختمانی به یک عملگر دودویی بسته می-شود اگر برای هر جفت از عناصر S، عملگر دودویی قانونی را برای به دست آوردن یک عنصر منحصر به فرد از S مشخص کند. به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی N = {1، 2، 3، 4، ⋯} با توجه به عملگر دودویی + با قوانین جمع حسابی بسته است، زیرا برای هر a,b ∈N، یک c ∈N منحصر به فرد وجود دارد به طوری که a + b = c. مجموعه اعداد طبیعی با توجه به عملگر دودویی – با قوانین تفریق حسابی بسته نمی شود، زیرا 2 – 3 = -1 و 2,3 ∈N ، اما -1 ∉N.
قانون شرکت پذیری. به * * -* ∈ : + = {⋯,—⋯} * ∈ ∈ : +، = (-) + (-) = * * + :
+ ، ≠= /(/= ).
+ :
() () + -() :
() + () ) + است. یعنی x + 0 = 0 + x = x.
(ب) عنصر 1 یک عنصر همانی نسبت به . است. یعنی x .1 = 1 .x = x.
(الف) این ساختار نسبت به + جابه جایی پذیر است. یعنی x + y = y + x.
(ب) این ساختار نسبت به . جابهجایی پذیر است. یعنی x .y = y .x.
(الف) عملگر . روی + توزیع پذیر است. یعنی x .(y + z) = (x .y) + (x .z).
(ب) عملگر + روی . توزیع پذیر است. یعنی x + (y .z) = (x + y).(x + z).
برای هر عنصر x ∈ B، یک عنصر x’ ∈ B وجود دارد (به نام مکمل x) به طوری که (الف) x + x’ = 1 و (ب) x .x’ = 0.
حداقل دو عنصر x,y ∈ B وجود دارد که x≠y.
با مقایسه جبر بولی با جبر حسابی و معمولی (حوزه اعداد حقیقی)، به تفاوت های زیر توجه می کنیم:
فرضیه های هانتینگتون شامل قانون شرکت پذیری نمی شود. با این حال، این قانون برای جبر بولی صدق می کند و می تواند (برای هر دو عملگر) از اصول دیگر مشتق شود.
قانون توزیع + روی . (یعنی x + (y .z) = (x + y).(x + z) ) برای جبر بولی معتبر است، اما برای جبر معمولی معتبر نیست.
جبر بولی وارون جمعی یا ضربی ندارد. بنابراین، عملیات تفریق یا تقسیم وجود ندارد.
اصل 5 ، عملگری به نام مکمل را تعریف می کند که در جبر معمولی موجود نیست.
جبر معمولی با اعداد حقیقی سروکار دارد که مجموعه نامتناهی از عناصر را تشکیل می دهند. جبر بولی با مجموعه ای از عناصر هنوز تعریف نشده، B سروکار دارد، اما در جبر بولی دو ارزشی که در ادامه تعریف شد (و مورد علاقه ما در ماشین آلات ساختمانی بعدی ما از آن جبر است)، B به عنوان مجموعه ای با تنها دو عنصر، 0 و 1 تعریف می شود.
جبر بولی از برخی جهات به جبر جزوه ماشین آلات ساختمانی شباهت + ً ً () () ً = {}، + ():
ً -= {} + ∈ () + = + = + = ;
() = = = + () (+ ) = () + () (+ ) () + () :
() + () () + ‘ = + ‘ = +=+’ = + = () ‘ = ^’= = ^’= =